EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

1 / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ] [-1] = 

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o  sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

(difusão de partículas carregadas)

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de partículas esféricas através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

• D é a constante de difusão,
• q é a carga elétrica da partícula,
• μ_q, a mobilidade elétrica da partícula carregada, i.e. a razão da velocidade de deriva terminal da partícula para um campo elétrico aplicado,
• ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann,
• T é a temperatura absoluta,
• η é a viscosidade
• r é o raio da partícula esférica.

A forma mais geral da equação é:

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = v_d / F.

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μ_q é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μ_q/q. Entretanto, a forma geral da equação

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

é no caso de uma partícula carregada:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade ${\displaystyle \mu }$ é o inverso do coeficiente de arrasto ${\displaystyle \zeta }$. Uma constante de amortecimento, ${\displaystyle \gamma }$, é frequentemente usada no contexto de ${\displaystyle \gamma ^{-1}}$, o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio ${\displaystyle r}$, a lei de Stokes fornece

${\displaystyle \zeta =m\gamma =6\pi \,\eta \,r,}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle \eta }$ é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein torna-se

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é^[1]

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle \eta }$ é o potencial químico e p o número de partículas.

Prova do caso geral

(Esta é a demonstração em uma dimensão, mas é idêntica a uma demonstração em duas ou três dimensões: Apenas substitui-se d/dx com ${\displaystyle \nabla }$. Essencialmente a mesma deonstração é encontrada em muitos lugares, por exemplo ver Kubo.^[2])

Supondo-se alguma energia potencial U cria uma força sobre uma partícula ${\displaystyle F=-dU/dx}$ (por exemplo, uma força elétrica). Assumindo-se que a partícula irá responder, outras coisas iguais, por mover-se com velocidade ${\displaystyle v=\mu F}$. Agora assume-se que existe um grande número de tais partículas, com concentração ${\displaystyle f(x)}$ como uma função da posição. Após algum tempo, o equilíbrio irá ser estabelecido: As partículas irão "acumular-se" em torno das áreas com mais baixa U, mas ainda serão espalhadas em certa medida por causa da difusão aleatória. Neste ponto, não há um fluxo em balanço, resultante, de partículas: A tendência das partículas para serem empurradas para mais baixa U (chamada "corrente de deriva") é igual e oposta à tendência das partículas de se espalhar devido à difusão (chamada "corrente de difusão").

O fluxo resultante de partículas devido à corrente de deriva isolado é

${\displaystyle J_{\mathrm {deriva} }(x)=\mu \,F(x)\,f(x)=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

(i.e. o número de partículas fluindo após um ponto é a concentração de partículas vezes a velocidade média.)

O fluxo líquido (resultante) de partículas devido à corrente de difusão isolada é, pela lei de Fick

${\displaystyle J_{\mathrm {difus.} }(x)=-D{\frac {df}{dx}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

(o sinal negativo significa que as partículas fluem da maior concentração para a mais baixa).

O equilíbrio requer:

${\displaystyle 0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

No equilíbrio, pode-se aplicar termodinâmica, em particular a estatística de Boltzmann, para inferir que

${\displaystyle f(x)=Ae^{-U/(k_{B}T)}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde A é alguma constante relacionada com o número total de partículas. Portanto, com a regra da cadeia,

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {-dU/dx}{k_{B}T}}f(x).}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Finalmente, ligando isso em:

${\displaystyle 0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}=-f(x){\frac {dU}{dx}}\left(\mu -{\frac {D}{k_{B}T}}\right)}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Como esta equação deve se sustentar em todos os locais,

${\displaystyle \mu ={\frac {D}{k_{B}T}}.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

A relação de Planck–Einstein^[1][2][3] é também conhecida como relação de Einstein,^[1][4][5] ou como relação de frequência-energia de Planck,^[6] relação de Planck,^[7] e equação de Planck.^[8] A expressão fórmula de Planck^[9] também pertence a esta lista, mas muitas vezes se refere à lei de Planck^[10][11] Esses vários epônimos são usados de maneira esporádica. Referem-se a uma fórmula integral da mecânica quântica, que estabelece que a energia de um fóton E é proporcional à sua frequência, ν:

${\displaystyle E=h\nu }$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

A constante de proporcionalidade, h, é conhecida como constante de Planck. Existem várias formas equivalentes da relação.

A relação explica a natureza quantizada da luz, e desempenha um papel decisivo no entendimento de fenômenos como o efeito fotoelétrico, e a lei de Planck da radiação de corpo negro.

Mais detalhes em: Postulado de Planck

Formas espectrais

A luz pode ser caracterizada usando várias quantidades espectrais, como a frequência ν, comprimento de onda λ, número de onda ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\nu }}}$, e seus equivalentes angulares (frequência angular ω, comprimento de onda angular y, e número de onda angular k). Essas grandezas se relacionam pela equação

${\displaystyle \nu ={\frac {c}{\lambda }}=c{\tilde {\nu }}={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {c}{2\pi y}}={\frac {ck}{2\pi }},}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

então a relação de Planck pode ter as seguintes formas "padrão"

${\displaystyle E=h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}=hc{\tilde {\nu }},}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

assim como as seguintes formas 'angulares',

${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar c}{y}}=\hbar ck.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

As formas padrão fazem uso da constante de Planck h. As formas angulares fazem uso da constante reduzida de Planck ħ = h2π. Aqui, c é a velocidade da luz.

Relação de de Broglie

Ver artigo principal: Onda de matéria#As relações de De Broglie

A relação de de Broglie,^[5][12][13] também conhecida como relação momento–comprimento de onda de de Broglie,^[6] generaliza a relação de Planck para ondas de matéria. Louis de Broglie argumentou que se as partículas possuem natureza de onda, a relação E = hν também se aplicaria para elas, e postulou que as partículas teriam um comprimento de onda igual a λ = hp. Combinando o postulado de de Broglie com a relação de Planck–Einstein resulta em

${\displaystyle p=h{\tilde {\nu }}}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

ou

${\displaystyle p=\hbar k.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

A relação de de Broglie também é algumas vezes encontrada na forma vetorial

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde p é o vetor momento, e k é o vetor de onda angular.

Condição de frequência de Bohr

A condição de frequência de Bohr estabelece que a frequência de um fóton absorvido ou emitido durante uma transição eletrônica relaciona-se à diferença de energia (ΔE) entre os dois níveis de energia envolvidos na transição:^[14]

${\displaystyle \Delta E=h\nu .}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Isso é uma consequência direta da relação de Planck–Einstein.

Movimento Browniano na Física

A primeira teoria do Movimento Browniano na Física foi publicada por Einstein em sua tese de doutoramento no ano de 1905, publicada em "Annalen der Physik". Inicialmente, Einstein analisou as equações de Navier-Stokes para o escoamento de um fluido incompressível, obtendo:^[6]

                                                         ${\displaystyle \eta *=\eta (1+\phi )}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle \eta *}$ = Viscosidade efetiva na presença de soluto;

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do solvente puro;

${\displaystyle \phi }$ = Parte do volume total que é ocupada pelo soluto.

Assim, com base em grandezas conhecidas, como a massa molar e a densidade, tem - se que:

                                                        ${\displaystyle \phi ={\frac {4}{3}}\pi (a^{3})((\rho N_{A})/m)}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

                                                          ${\displaystyle D={\frac {RT}{6\pi .a.n.N_{A}}}}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = Onde,

D = Coeficiente de Difusão

R = Constante universal dos gases

T = Temperatura Termodinâmica

${\displaystyle a}$ = Raio das partículas

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do solvente puro

${\displaystyle N_{A}}$ = Número de Avogadro

Por meio do Movimento Browniano, Einstein possibilitou a observação de flutuações de partículas que anteriormente possuíam desvio quadrático médio muito pequeno. A base de sua teoria é tida como a semelhança do comportamento de soluções e do comportamento de suspensões diluídas, onde existe uma relação do coeficiente de difusão com a viscosidade, somado à uma dedução probabilística da equação de difusão.^[7] Diante desses cálculos, foi elaborado para o Movimento Browniano o deslocamento quadrático médio na direção "x" e o tempo de observação "t", tal que:^[8]

                                                               ${\displaystyle <x^{2}>=2Dt}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = No caso tridimensional, devido a isotropia, temos que:

                                                      ${\displaystyle <x^{2}>=<y^{2}>=<z^{2}>={\frac {1}{3}}<r^{2}>}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =                                                                ${\displaystyle <r^{2}>=6Dt}$

Alguns anos após as descobertas de Einstein, em 1908, Paul Langevin, assim como outros cientistas, buscou a generalização das fórmulas já criadas. Assim, Langevin definiu que o Movimento Browniano de uma partícula que esteja fora de um campo de força conservativo pode ser escrito como uma equação diferencial, sendo:^[9]

                                                               ${\displaystyle {\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}=-\eta v+\xi (t)}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Onde,

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do meio;

${\displaystyle v}$ = Velocidade da particula;

${\displaystyle \xi (t)}$ = Força aleatória.

Vale ressaltar que ${\displaystyle \xi (t)}$ é uma força que mantêm a agitação das partículas em suspensão, sendo atribuída a força gerada pelas moléculas do fluido nas partículas suspensas.

Langevin demonstrou que a variância da velocidade é dada por:

                                                         ${\displaystyle <v^{2}>=(\Gamma /2\eta )(1-e^{-2\eta t})}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Onde,

${\displaystyle \Gamma }$= Constante a ser calculada;

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do meio;

${\displaystyle t}$= Tempo.

Desse modo, para tempo longos, a função exponencial tende a zero, assim:

                                                              ${\displaystyle <v^{2}>={\frac {\Gamma }{2\eta }}}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = Levando em conta fatores como a energia cinética média das partículas, Langevin demonstra que:

                                                              ${\displaystyle \Gamma =\left({\frac {2\eta k_{B}T}{m}}\right)}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = Onde,

${\displaystyle K_{B}}$ = Constante de Boltzmann;

T = Temperatura do meio externo.

Dessa maneira, para tempos suficientemente longos, a teoria de Langevin é equivalente as propostas de Einstein sobre o Movimento Browniano.

Desse modo, as únicas incógnitas são o raio da partícula (${\displaystyle a}$) e o Número de Avogrado (${\displaystyle N_{A}}$). O cientista buscou ainda outro modo de relacionar ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle N_{A}}$, obtendo um resultado matemático em que relaciona a difusão (D) com a temperatura e a viscosidade do fluido, de forma:^[7]

Onde,